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Differential Cross-Section
dσdΩ=164π2spfinalpinitial|M|2
Working in the center of mass frame
pfinal=pinitial
Determining the scattering amplitude in the center of mass frame
M=e2(u−st+t−su)
M2=e4(u−st+t−su)(u−st+t−su)
M2=e4((u−s)2t2+(t−s)2u2+2(u−s)t(t−s)u)
M2=e4((u2−2us+s2)t2+(t2−2ts+s2)u2+2(ut−st+s2−us)tu)
M2=e4((t2+s2)u2+2s2tu+2−2ust2−2st−2tsu2−2su+(u2+s2)t2)
Using the fine structure constant (with c=ℏ=ϵ0=1)
α≡e24π
dσdΩ=α22s((t2+s2)u2+2s2tu+2−2ust2−2st−2tsu2−2su+(u2+s2)t2)
In the center of mass frame the Mandelstam variables are given by:
s≡4E∗2
t≡−2p∗2(1−cosθ)=−2p∗2(1−2cos2θ2+1)=−4p∗2(1−2cos2θ2)=−4p∗2sin2θ2
u≡−2p∗2(1+cosθ)=−2p∗2(1+2cos2θ2−1)=−4p∗2cos2θ2
Simplifying using the relationship
cosθ=−1+cosθ2
dσdΩ=α28E∗2(16p∗4sin4θ2+16E∗416p∗4cos4θ2+32E∗44p∗2sin2θ24p∗2cos2θ2+2+4E∗2(1−cosθ)2p∗2(1+cosθ)2(1−cosθ)+4E∗2(1+cosθ)2p∗2(1−cosθ)2(1+cosθ)+4E∗2(1+cosθ)p∗2(1−cosθ)(1+cosθ)+4E∗2(1−cosθ)p∗2(1+cosθ)(1−cosθ)+16p∗4cos4θ2+16E∗416p∗4sin4θ2)
dσdΩ=α28E∗2(16p∗4sin4θ2+16E∗416p∗4cos4θ2+8E∗4p∗4sin2θ+2+4E∗2cot2θ2p∗2sin2θ+4E∗2tan2θ2p∗2sin2θ+4E∗2(1+cosθ)p∗2sin2θ+4E∗2(1−cosθ)p∗2sin4θ+16p∗4cos4θ2+16E∗416p∗4sin4θ2)
dσdΩ=α28E∗2(16p∗4sin4θ216p∗4cos4θ2+16p∗4cos4θ216p∗4sin4θ2+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2+8E∗2p∗2sin2θ+4E∗2(3cos2θ+5)p∗2sin4θ+16E∗416p∗4cos4θ2+16E∗416p∗4sin4θ2)
dσdΩ=α28E∗2(16p∗4sin4θ216p∗4cos4θ2+16E∗4sin4θ216p∗4cos4θ2sin4θ2+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ+5)p∗4sin4θ+16p∗4cos4θ216p∗4sin4θ2+16E∗4cos4θ216p∗4sin4θ2cos4θ2)
dσdΩ=α28E∗2(tan4θ2+16E∗4sin4θ2p∗4sin4θ+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4sin4θ+cot4θ2+16E∗4cos4θ2p∗4sin4θ)
dσdΩ=α28E∗2(tan4θ2+cot4θ2+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4sin4θ+16E∗4cos4θ2p∗4sin4θ+16E∗4sin4θ2p∗4sin4θ)
dσdΩ=α28E∗2(tan4θ2+cot4θ2+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4sin4θ+4E∗4(cos2θ+3)p∗4sin4θ)
dσdΩ=α28E∗2(tan4θ2+cot4θ2+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4sin4θ+4E∗4cos2θp∗4sin4θ+12E∗4p∗4sin4θ)
dσdΩ=α28E∗2(tan4θ2+cot4θ2+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4sin4θ+4E∗4(cos2θ−sin2θ)p∗4sin4θ+12E∗4p∗4sin4θ)
dσdΩ=α28E∗2(sin4θ(cosθ+1)4+sin4θ(cosθ−1)4+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4sin4θ+4E∗4(cos2θ−sin2θ)p∗4sin4θ+12E∗4p∗4sin4θ)
dσdΩ=α28E∗2(sin4θ(cosθ−1)4(cosθ+1)4(cosθ−1)4+sin4θ(cosθ+1)4(cosθ−1)4(cosθ+1)4+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4sin4θ+4E∗4(cos2θ−sin2θ)p∗4sin4θ+12E∗4p∗4sin4θ)
dσdΩ=α28E∗2(sin4θ(cosθ−1)4sin8θ+sin4θ(cosθ+1)4sin8θ+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4sin4θ+4E∗4(cos2θ−sin2θ)p∗4sin4θ+12E∗4p∗4sin4θ)
dσdΩ=α28E∗2((cosθ−1)4sin4θ+(cosθ+1)4sin4θ+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4sin4θ+4E∗4(cos2θ−sin2θ)p∗4sin4θ+12E∗4p∗4sin4θ)
dσdΩ=α28E∗2((2cos4θ+12cos2θ+2)sin4θ+8E∗4sin2θp∗4sin4θ+2p∗4sin4θp∗4sin4θ+8E∗2p∗2sin2θp∗4sin4θ+4E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4sin4θ+4E∗4(cos2θ−sin2θ)p∗4sin4θ+12E∗4p∗4sin4θ)
dσdΩ=α24E∗2sin4θ((cos4θ+6cos2θ+1)1+4E∗4sin2θp∗4+p∗4sin4θp∗4+4E∗2p∗2sin2θp∗4+2E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4+2E∗4(cos2θ−sin2θ)p∗4+6E∗4p∗4)
dσdΩ=α24E∗2sin4θ(p∗4(cos4θ+6cos2θ+1)p∗4+4E∗4sin2θp∗4+p∗4sin4θp∗4+4E∗2p∗2sin2θp∗4+2E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)p∗4+2E∗4(cos2θ−sin2θ)p∗4+6E∗4p∗4)
dσdΩ=α24E∗2p∗4sin4θ(p∗4(cos4θ+6cos2θ+1)+4E∗4sin2θ+p∗4sin4θ+4E∗2p∗2sin2θ+2E∗2p∗2(3cos2θ−3sin2θ+5)+2E∗4(cos2θ−sin2θ)+6E∗4)
dσdΩ=α24E∗2p∗4sin4θ(p∗4(cos4θ+6cos2θ+1)+4E∗4sin2θ+p∗4sin4θ+4E∗2p∗2sin2θ+6E∗2p∗2(1−2sin2θ)+10E∗2p∗2+2E∗4(1−2sin2θ)+6E∗4)
dσdΩ=α24E∗2p∗4sin4θ(p∗4(cos4θ+6cos2θ+1)+8E∗4+p∗4(1−2cos2θ+cos4θ)+4E∗2p∗2sin2θ+6E∗2p∗2−12E∗2p∗2sin2θ+10E∗2p∗2)
dσdΩ=α24E∗2p∗4sin4θ(p∗4(2cos4θ+4cos2θ+2)+8E∗4sin2θ+8E∗4−8E∗2p∗2sin2θ+16E∗2p∗2)
dσdΩ=α24E∗2p∗4sin4θ(p∗4(2cos4θ+4cos2θ+2)+8E∗4(1−cos2θ)+8E∗4−8E∗2p∗2(1−cos2θ)+16E∗2p∗2)
dσdΩ=α24E∗2p∗4sin4θ(p∗4(2cos4θ+4cos2θ+2)+8E∗4(2−cos2θ)+8E∗2p∗2(1+cos2θ))
∴E2≡m2+p2
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